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【摘 要】微分中值定理的证明可借助辅助函数法, 本文总结了两种构造辅助函数的方法, 并将其用于一些证明题, 取得了较好的效果.
【关键词】微分中值定理;原函数法;待定系数法
0 引言
微分中值定理在内容上通常包括Rolle中值定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理, 后两个定理都是通过构造辅助函数, 再借助Rolle中值定理来证明的. 微分中值定理在分析学中极为重要, 一方面, 它揭示了函数与导数之间的内在联系, 奠定了导数应用的理论基础;另一方面, 它可以用来证明众多如下命题的成立:设f(x)在[a,b]上连续,(a,b)内可导, 则在(a,b)内至少存在一点ξ, 使某个含有f(ξ)、f′(ξ)、f″(ξ)的等式成立. 在应用微分中值定理的过程中, 大量使用辅助函数法, 其构造技巧既是重点, 又是难点. 本文拟通过对Lagrange中值定理和Cauchy中值定理证明中辅助函数做法的分析, 提炼出可以普遍使用的一般方法.
为了讨论方便, 先将三个中值定理叙述如下:
Rolle中值定理 设函数f(x)满足下列三个条件:
(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)开区间(a,b)内可导;(iii)f(a)等于f(b), 则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ, 使得f′(ξ)等于0.
Lagrange中值定理 设函数f(x)满足下列条件:
(i)在闭区间[a,b]上连续;(ii)在开区间(a,b)内可导, 则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得:
1. 原函数法
将Lagrange中值定理中所证结论(1)中ξ换成x, 成为:
为了借助Rolle中值定理, 需构造一个辅助函数F(x), 使其导数为上述等式中不为零的一端. 为此, 可用积分的方法, 对上式两边积分可得:
容易验证F(x)在[a,b]上满足Rolle中值定理的条件, 因此它可以作为证明Lagrange中值定理所作的辅助函数.
这种方法是通过不定积分反求出原函数, 故可以称为原函数法, 适用于采用Rolle中值定理证明结论为某一函数的导函数的零点问题. 其步骤可以总结为:
(1)将所证结论中的ξ换成x;
(2)通过恒等变形将结论转换为易积分的形式并两边积分;
(3)移项, 使等式一边为积分常数C, 则另一边即为所作的辅助函数.
2. 待定系数法
这种方法将所证结论中的唯一微分中值换成确定常数λ, 故可以称为待定系数法. 其步骤可以总结如下:
拉格朗日中值定理:微分中值定理与导数的应用张峰
(1)将所证结论中的唯一微分中值, 用常数λ表示.
(2)代入所证结论, 移项(积分)得辅助函数(有时需将代表区间端点的常数替换为x).
例3 设函数f(x)在[a,b]上二阶可导,f(a)等于f(b). 证明:对每个x∈(a,b), 存在ξ∈(a,b), 使得:
【参考文献】
[1]华东师范大学数学系. 数学分析(上册) [M].北京:高等教育出版社,1991.
[2]朱崇军.微分中值定理应用中辅助函数的构造[J].高等函授学报:自然科学版,2008,2,22(1):18-20.
[3]谢惠民,恽自求,易法槐,钱定边.数学分析习题课讲义[M].北京:高等教育出版社,2004.
[责任编辑:薛俊歌]
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拉格朗日中值定理引用文献:
[1] 中值定理论文范文 中值定理有关论文范本2万字
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[3] 专升本和中值定理论文范例 专升本和中值定理论文怎么撰写3000字