有关微分中值定理的证明应用中的辅助函数构造毕业论文写作资料-论文写作网

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定理中值论文范文

摘要：微分中值定理是微分学的基础内容,也是用来研究函数性态的重要手段．因此,对微分中值定理的研究和再证明长期以来都是经久不衰的话题．通过对微分中值定理的再证明,不仅有利于初学者对定理的理解和掌握,也有利于其对定理的灵活运用,同时通过对微分中值定理的推广,还可以得到更加一般的情形．

关键词：微分中值定理；辅助函数法；初学者

中图分类号：O172.1 文献标识码：A 文章编号：1009-8135（2014）03-0021-04

函数与其导数是两个不同的函数,而导数只是反映函数在一点的局部特征,如果要了解函数在其定义域上的整体性态,就需要在导数及函数间建立起联系,微分中值定理的作用就在于此．可以说,微分中值定理是高等数学中的重要内容,更是微分学中的基础知识,微分学中的许多命题和不等式都以其为依据,也是研究函数性态的重要手段．因此,掌握和了解微分中值定理对于进一步学习微分知识和其他高等数学内容,以及从事高等数学的研究都有重要的作用．

函数在一定条件下、在给定的区间中存在着一点(即中值),使得在此点的函数与导数在区间上存在着某种特定的等式联系．通常,中值的值不易求出,即中值的准确值常不易知道,但我们能把握的是它的存在性．由于导数中值的存在性,中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁,中值定理通过导数去研究函数的性态,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具．

微分中值定理主要包括四个定理,即罗尔（Roll）定理、拉格朗日（Lagrange）定理、柯西（Cauchy）定理、泰勒（Taylor）定理．其中,拉格朗日中值定理是微分中值定理核心,建立了函数值与导数值之间的定量联系；罗尔定理是微分中值定理的特殊情况；柯西定理是对拉格朗日中值定理的推广．本文从微分中值定理的重要性出发,运用构造辅助函数的方法对中值定理进行再一次证明,旨在让初学者认识并理解微分中值定理,为其以后的学习打下坚实的基础,同时,便于与同行之间的学习和交流,促进微分中值定理的研究．

1. “和差型”辅助函数的构造

拉格朗日中值定理:微分中值定理与导数的应用张峰

2. “常数k值型”辅助函数的构造

通过让初学者联系函数与其导数的关系,我们已经能够让其根据求证结果来构造简单的辅助函数．但是,在实际运用中,还会遇到更为复杂的情形,必须结合所学知识灵活构造辅助函数．常数k值法就是我们经常使用的一种变形的构造辅助函数的方法．

3. “首次积分型”辅助函数的构造

虽然上述构造辅助函数的方法适用性很强,但是在具体应用过程中,通过首次积分法并构造相应的辅助函数来证明和运用拉格朗日中值定理和柯西中值定理是一个不错的方法．下面就用拉格朗日中值定理的证明和应用为例．

3.1 用首次积分法证明拉格朗日中值定理

4. “行列式型”辅助函数的构造

行列式辅助函数的构造法在实际应用中并不多见,但也不失为一种微分中值定理证明的重要方法．这对于初学者进一步熟悉和掌握相应定理,并灵活运用,具有重要的启迪作用,同时,对于研究中值定理也具有一定的积极作用．下面就通过证明拉格朗日中值定理来对行列式型的辅助函数的构造做一说明．

拉格朗日中值定理这里不再重述,直接证明．

5. 小结

微分中值定理在微分学中的基础性作用,决定了人们尤其是初学者们必须牢固掌握并熟练运用之．本文就证明微分中值定理的构造辅助函数方法做了一个归纳和小结,希望能给初学者减轻学习的痛楚,厘清解决问题的思路,为今后的学习打下坚实的基础,同时,也希望能对研究和应用微分中值定理做一些必要的基础性工作和起到推进作用．

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（责任编辑：于开红）

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拉格朗日中值定理引用文献: