简介:该文是关于数学相关参考文献格式范文与数学建模方面参考文献格式范文.
摘要：排列组合作为高中数学难点知识之一,有着其独特的解题思维,关键在于数学建模中将实际问题抽象为数学问题.答题的灵活往往是造成解题困难的直接原因.掌握排列组合基本原理,解题做到不重不漏,往往能给解题的准确带来显著的效果.常见的解题方法有捆绑法、插空法、优先法、隔板法等.
关键词：数学建模;核心素养;排列组合;先分堆再分配
排列组合常与概率问题作为高考重点,每年的全国高考题都有一道大题出现,而且都是以解答题的方式出现.排列组合是在生活中提炼出来的,因此,解决目前社会生产生活中遇到的问题必须使用排列组合的基本思想、方法和技能,把实际问题转化为需要的数学模型.数学建模是现实生活与数学连接的纽带,是数学核心素养、育人目标的具体体现.计数问题是数学中的重要研究对象之一,分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题最基本、最重要的的方法,它们为解决很多问题提供了思想和工具.在本文中,主要运用数学核心素养之数学建模研究排列、组合常见的几种考题类型以及题型的扩充和推广.
1.数字问题模型
【例题1】（1）求4320的不同正约数的个数;
（2）求这些正约数的和.
解析（1）：这是一道分步乘法计数原理的应用题目,但题目中并无明确的分步步骤,这就需要我们自己来确定一个分步步骤.由于题目要求4320的正约数,因此我们将4320用从小到大的不同质因数的幂之积来表示,即4320等于25·33·51.容易看出,4320的正约数的质因数必在2,3,5中.则可根据分步计数原理进行求解.
解：设4320的正约数为N等于2n·3m·5r,则n可取0,1,2,3,4,5六个值;m可取0,1,2,3四个值;r可取0,1两个值.∴所求的正约数的个数为6×4×2等于48个.
解析（2）：题目乍看感觉无从下手,其实我们根据（1）中得出的结论可以很容易看出,求这些正约数的和即求20·30·50+21·30·50+22·30·50+等+25·33·51,而这个式子正是（20+21+22+23+24+25）（30+31+32+33）（50+51）的展开式.因此,题意就转为求上式的和.
解：（20+21+22+23+24+25）（30+31+32+33）（50+51）
等于××
等于63×40×6
等于15120.
2.分步乘法计数原理
例：（1）从6个人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有多少种?
（2）6个人要去巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科这四个城市中的某个城市游览,且甲、乙两人不去巴黎游览.则不同的选择方案共有多少种?
解析：根据题目的限制：甲、乙不去巴黎,则应首先考虑甲、乙和巴黎.其次,这两道题看似差不多,而实际上（1）中是四个城市都必须有人去,而（2）中则是6个人必须都去,但不一定每个城市都必须要有人去.所以,考虑问题（1）要以“城市”为主,问题（2）则以“人”为主.
解： （1）去巴黎的人除甲、乙外从剩下的4人当中选一个人,去伦敦的有5个人可选,去悉尼有4人可选,去莫斯科有3人可选.∴不同的选择方案共有4×5×4×3等于240种.
（2）甲和乙有3个城市可选,而其他4人均有4个城市可选.∴不同的选择方案共有3×3×4×4×4×4等于2304种.
3.涂色问题模型
【例题2】一个同心圆行花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为n（n≥4,nN*）等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花[ 1 ].
（1）如图1,圆环分成的4等分为a1,a2,a3,a4,有多少种不同的种植方法?
（2）如图2,圆环分成的n等分,a1,a2,a3,等an, 有多少种不同的种植方法?
解：（1）如图1,当a1与a3不同颜色时,有A32×1×1等于6种,当a1与a3相同颜色时,有A31×2×2等于12种.∴共有S（4）等于6+12等于18种.
（2）如图2,圆环分为n等份,对a1有3种不同的种法,对a2,a3,a4,等an都有两种不同的种法,但这样的种法只能保证 ai-1与ai（i等于1,2,3,等n-1）不同颜色,但不能保证a1与an不同颜色.于是,一类是an与a1不同色的种法,这是符合要求的,记为S（n）（n≥4）种,另一类是an与a1同色的种法,这时可以把an与a1同色看成一部分,這种种法相当于对n-1种部分要求的种法,记为S（n-1）,共3×2n-1种种法.
则S（n）+S（n-1）等于3×2n-1,
即S（n）-2n等于-〔S（n-1）-2n-1〕.
∴ 〔S（n-1）-2n〕（n≥4）数列是首项为S（4）-24,公比为-1的等比数列.
由S（4）等于18得：S（n）-2n等于（18-24）（-1）n-4
∴ S（n）等于2n+2·（-1）n-4.
【点评】图形涂色问题是利用两个原理处理的一种对能力要求较高的问题,需要特别关注图形的特征,有多少块,用多少种颜色.
4.排队问题模型
【例题3】三个男生和四个女生按下列条件排成一排,有多少种排法?
（1）男生互不相邻;
（2）男女生间隔相排;
（3）甲、乙两人必须相邻;
（4）男生排在一起,女生排在一起;
（5）甲不站左端,也不站右端;
（6）甲、乙站两端;
（7）甲不站左端,乙不站右端;
（8）甲在乙前面（不一定相邻）.
解析：（1）解决间隔排列问题常用“插空法”,也就是先排不需要间隔（可以相邻）的元素,再将需要间隔的元素用插空方式插进来即可.∴先考虑女生全排有A44种,形成5个空隙,再将3个男生任意插入5个空中,有A53种.
∴ 共有A44×A53等于1440种.
（2）这题仍是采用插空法,所不同的是,两种元素都不能间隔.显然,女生或男生之间必须相差1的排法才能满足题意.因此,女生全排A44种,为了满足条件,剩下的3个男生必须只能在4位女生中间的3个空位排,∴共有A44×A33等于144种.
（3）像这类有些元素必须要安排在一起的问题,常用“捆绑法”解决,即先排集团内部的元素（甲、乙）,再把该集团作为一个整体,看成一个元素,然后与其他剩余的元素进行全排即可.∴共有A22×A66等于1440种.
（4）同（3）,这题仍是相邻问题,但是这题的两种元素都分别需要安排在一起.一样的道理,男生内部排法有A33种,女生内部排法有A44种,∴ 共有A33×A44×A22等于288种.
（5）因甲不能站在左右端的任一位置,故第一步先让甲站在除两端以外的位置上,有A51种站法;第二步再让余下的6个人任意站在其他6个位置,有A66种,∴ 共有A51×A66等于3600种.
（6）首先考虑特殊元素,让甲、乙站两端有A22种,再让其他5个人任意站在中间5个位置,有A55种.∴ 共有A22×A55等于240种.
（7）甲在左端的站法有A55种,乙在右端的站法有A55种,而甲在左端,乙在右端的站法有A44种,故共有A66-2A55+A44等于504种.（本题采用间接法解题较简单,有时候根据题目的方向,采用直接法会比较简单.）
（8）不考虑其他元素时,仅对甲、乙两人进行排列,有A22种,其中甲在乙前面的排法只有1种,因此可以看做甲在乙前面的比例为,因此,七個人全排时有A77种,其中满足甲在乙前的排法占,∴ 共有A77×等于2520种.
以上是排列组合几种常见的题型,排列组合的题目贵在灵活,重在数学建模,通过对实际问题的简化和抽象后,用计数原理建立模型,用数学方法解决问题,再回到实际问题中解释,主要包括分析抽象、建立模型、求解模型.但从解法上看,大致有以下几种：第一,有附加条件的排列、组合问题,大多数需要分类讨论的方法,注意分类时不重不漏;第二,排列与组合的混合题型,分步骤,用分步乘法原理解决;第三,元素要相邻,看作一个整体,使用捆绑法;第四,元素不相邻,用插空法;第五,间隔法,把不符合条件的排列或组合剔除掉;第六,先分堆,再分配,面对不同的元素,可采用分堆分配;第七,面对相同的元素,可以用隔板法进行求解.总之,排列组合是数学核心素养之数学建模的重要模型,是现实生活与数学连接的纽带.
参考文献：
[1]陈炳泉.巧解排列组合常见应用问题[J].福建中学教学,2006（10）.
[2]王国君.高中数学建模教学[J].教育科学（引文版）,2016（8）.
总结：此文点评，上述文章是关于数学建模方面的论文题目可用于相关论文提纲和数学文献综述的参考文献.
数学建模引用文献:
[1] 最新数学建模学位论文选题参考 数学建模学位论文题目怎样定
[2] 比较好写的数学建模期末论文选题 数学建模期末论文题目哪个好
[3] 初中生数学建模论文选题推荐 初中生数学建模论文题目如何取
