《高三数学教学中的渗透数学思想》
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摘 要：数学教学的最终目标,是要让学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,数学素养就是指学生学习数学应该达成的有特定意义的综合性能力,数学核心素养高于具体的数学知识技能,具体综合性、整体性和持久性,反映数学本质与数学思想,是数学思想方法在具体学习领域的表现.如果能自觉渗透数学思想,加强个人数学素养的培养,就会在复习中高屋建瓴,对整体复习起到引领和导向作用.本文将从函数方程思想,数形结合思想,分类讨论思想,化归和转化思想四方面论述.
一、函数与方程思想
函数的思想,就是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的数学思想.方程的思想,就是分析数学问题量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构建方程,通过解方程或者方程组,或者运用方程的性质去分析,转化问题,使问题获得解决的数学思想.
（一）.方程思想就是将所求的量（或与所求的量相关的量）设成未知数,用它表示问题中的其他各量,根据题中的已知条件列出方程（组）,通过解方程（组）或对方程（组）进行研究,使问题得到解决.
（二）.方程思想与函数思想密切相关：方程f（x）等于0的解就是函数y等于f（x）的图象与x轴的交点的横坐标;函数y等于f（x）也可以看作二元方程f（x）-y等于0,通过方程进行研究,方程f（x）等于a有解,当且仅当a属于函数f（x）的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.
(三)可用函数与方程思想解决的相关问题.
1.函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
（1）借助有关初等函数的性质,解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;
（2）在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数,把研究的问题化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.
2.方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：
（1）解方程或解不等式;（2）带参变数的方程或不等式的讨论,常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用;（3）需要转化为方程的讨论,如曲线的位置关系等;（4）构造方程或不等式求解问题.
(四)规律方法
1在解决值的大小比较问题时,通过构造适当的函数,利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法.
2在解决不等式恒成立问题时,一种重要的思想方法就是构造适当的函数,利用函数的图象和性质解决问题.同时要注意在一个含多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化,一般地,已知存在范围的量为变量,而待求范围的量为参数.
3在解决不等式证明问题时,构造适当的函数,利用函数方法解题是近几年各省市高考的一个热点.用导数来解决不等式问题时,一般都要先根据欲证的不等式构造函数,然后借助导数研究函数的单调性情况,再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式.
二、数形结合的数学思想
数形结合思想,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的互相转化来解决数学问题的思想,数形结合思想的应用包括以下两方面：（1）“以形助数”,把某些抽象的数学问题直观化,生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质.（2）“以数定形”,把直观图形数量化,使形更加精确.
数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形：（1）是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;（2）是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
规律方法
如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,一般考虑用数形结合的方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有：
（1） 中 表示直线的斜率, 表示直线在 轴上的截距.
（2） 表示坐标平面上两点 连线的斜率.
（3） 表示坐标平面上两点 之间的距离.
（4）导函数 表示曲线在点 处切线的斜率.
只要具有一定的观察能力,再掌握常见的数与形的对应类型,就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法.
三、分类讨论的思想
分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略,对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题（或综合性问题）,优化解题思路,降低问题难度.
1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等.
3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同时乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等.
4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类,如角的终边所在的象限;点、线、面的位置关系等.
5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.
6.由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用.
四、化归与转化的思想
转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化、进而解决问题的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变化转化为已解决的问题.
1.化归与转化的思想方法
解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题（相对来说,是自己较熟悉的问题）,通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.
2.化归与转化的思想方法应用的主要方向
化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.化归与转化思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维的转化,多元向一元的转化,高次向低次的转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现.
3.等价转化和非等价转化
转化有等价转化和非等价转化之分.等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证.
在高中数学教学之中,首先需要学生有一定的数学理论基础知识.很多数学原理是在旧知识的基础之上推导出来的.
参考文献
[1] 王淑花：数学思想方法在数学教学的渗透[J];山东广播电视大学学报;2007年03期
[2] 顧长明. 数学思想方法在数学教学中的渗透[J]. 数学教学通讯：教师阅读,2011（3）：10-12.
[3] 胡典顺. 论数学思想方法在中学数学教学中的渗透[D]. 华中师范大学,2001.
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数学教学引用文献:
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