《四说微积分学中的这个重要函数》
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摘 要：在《微积分学中一个重要函数》[1]一文中,讨论了f（x）等于sinxx的许多简单、显见的特性.《再说微积分学中的这个重要函数》[2]一文从该函数的导数计算入手,进行微积分中有关知识点的讨论.《三說微积分学中的这个重要函数》[4]是讨论了无穷小量等价代换.本文则是该函数进行高阶导数计算,仍可作为教材的补充.
关键词：函数;导数;高阶导数;极限;幂级数;罗必达法则
在《微积分学中一个重要函数》一文中,我们对第一个重要极限limx→0sinxx等于1中的函数f（x）等于sinxx 进行了一系列的讨论,指出了一些显著的特点,其中讨论到f（x）在x等于0点处为可去间断点,于是有连续函数F（x）等于f（x）,x≠0
1,x等于0.
下面就对F（x）进行逐阶求导.
一、关于f（x）的导数计算
使用导数基本公式和法则可以得到：
f′（x）等于sinxx′等于xcosx-sinxx2,
f″（x）等于（2-x2）sinx-2xcosxx3,
f（x）等于3（x2-2）sinx+（6x-x3）cosxx4,
f（4）（x）等于（24-12x2+x4）sinx+（4x3-24x）cosxx5,
等.
可见f（x）导数阶数越高,计算越繁琐,也没显著规律;在x等于0点处不连续,也就不可导,但也仅在x等于0点处不可导.
二、关于F（x）的导数计算
（1）当x≠0时,F′（x）等于f′（x）,F″（x）等于f″（x）,等,F（n）（x）等于f（n）（x） n∈Z+.
（2）当x等于0时,F（x）的导数,即F′（0）,可以用二种基本方法计算：
方法一,用导数定义计算：
F′（0）等于limx→0F（x）-F（0）x等于limx→0f（x）-1x等于limx→0sinx-xx2
等于limx→0cosx-12x等于limx→0-sinx2等于0
方法二,用导函数的极限（连续性）计算：
F′（0）等于limx→0f′（x）等于limx→0xcosx-sinxx2等于limx→0（xcosx-sinx）′（x2）′
等于limx→0-sinx2等于0
计算说明：①二种方法都用到了罗必达法则,方法一中用了二次;
②可以看出直接通过函数恒等变形求这类极限是不可取的;
③因为函数式中有减法,所以等价代换也是不可取;
④两种计算方法也证明了F′（x）在x等于0点处连续,从而F′（x）是连续的.
所以,F（x）的连续导函数为：
F′（x）等于xcosx-sinxx2,x≠0
0,x等于0
（3）当x等于0时,F（x）的二阶导数F″（0）同样可以这二种方法计算：
方法一,用导数定义计算：
F″（0）等于limx→0F′（x）-F′（0）x等于limx→0f′（x）-0x等于limx→0xcosx-sinxx3等于limx→0-xsinx3x2等于-13
方法二,用导函数极限（连续性）计算：
F″（0）等于limx→0f″（x）等于limx→02-x2sinx-2xcosxx3等于limx→0-cosx3等于-13
计算说明：①仍用到了罗必达法则计算极限,但方法二中是借用方法一的极限计算;
②函数可导即意味着Δy与Δx是同阶或高阶无穷小,而本题中的Δx就是x,即有：
xcosx-sinx～-13x3
（2-x2）sinx-2xcosx～-13x3;
③两种计算方法也证明了F″（x）在x等于0点处连续,从而F″（x）是连续的.
于是,就有：
F″（x）等于2-x2sinx-2xcosxx3,x≠0
-13,x等于0
（4）运用与（二）、（三）中类似的方法计算,可以得到：
F（x）等于3x2-2sinx+6x-x3cosxx4,x≠0
0,x等于0
F（4）（x）等于24-12x2+x4sinx+4x3-24xcosxx5,x≠0
15,x等于0
等
F（n）（x）等于f（n）（x）,x≠0
An,x等于0n∈Z+
A1等于0,A2等于-13,A3等于0,等
虽然可以逐阶求出F（x）更高阶的导数,但演算是相当繁琐的,且没有简单显然的规律.这就有寻找简捷有效的计算方法的必要.
三、利用幂级数解决问题
∵sinx等于x-x33！+x55！-x77！+等-SymboleB@
<x<+SymboleB@
∴F（x）等于1-x23！+x45！-x67！+等-SymboleB@
<x<+SymboleB@
通过等式两边同时求导和幂级数逐项求导法则,可得：
∴F′（x）等于-2x3！+4x35！-6x57！+等,A1等于F′（0）等于0
∴F″（x）等于-23！+12x25！-30x47！+等,A2等于F″（0）等于-13
∴F（x）等于24x5！-120x37！+等,A3等于F（0）等于0
∴F4（x）等于4！5！-360x27！+等,A4等于F4（0）等于15
等
∴F（n）（x）等于1-x23！+x45！-x67！+等（n）,
An等于F（n）（0）等于0,n为奇数
（-1）n2n+1,n为偶数
利用幂级数可以很方便地求出F（x）的各阶导数！然而,对于x≠0时的各阶导数值计算反而是不方便的.
四、三组间接结果
(一)一组函数的幂级数展开
（1）xcosx-sinxx2等于-2x3！+4x35！-6x57！+等（x≠0）
（2）2-x2sinx-2xcosxx3等于-23！+12x25！-30x47！+等（x≠0）
（3）3x2-2sinx+6x-x3cosxx4等于24x5！-120x37！+等（x≠0）
（4）24-12x2+x4sinx+4x3-24xcosxx5等于15-360x27！+等（x≠0）
等
(二)一组极限计算（多项式函数与三角函数组合函数）
（1）limx→0x-sinxx3等于16
（2）limx→0sinx-xcosxx3等于13
（3）limx→0x2-2sinx+2xcosxx3等于13
（4）limx→03x2-2sinx+6x-x3cosxx5等于15
（5）limx→024-12x2+x4sinx+4x3-24xcosxx5等于15
（6）limx→0x3+3x2-2sinx+6xcosxx5等于310
(三)一组等价无穷小
（1）6（x-sinx）～x3
（2）3（sinx-xcosx）～x3
（3）3x2-2sinx+2xcosx～x3
（4）53x2-2sinx+6x-x3cosx～x5
（5）524-12x+x4sinx+4x3-24xcosx～x5
（6）10x3+3x2-2sinx+2xcosx～3x5
參考文献：
[1]陆宗斌.微积分学中的一个重要函数[J].当代教育实践与教学研究,2017.9.
[2]陆宗斌.再说微积分中的这个重要函数[J].知识文库,2018.14.
[3]左元武,陆宗斌.高职数学[M].北京：北京理工大学出版社,2014.8.
[4]陆宗斌.三说微积分中的这个重要函数[J].科学技术创新,2019.25.
课题：2018年度教育类教指委课题“互联网+”背景下高职数学课程混合式教学模式的研究与实践,（2018GGJCKT142）主持人缪烨红
作者简介：陆宗斌（1962-）,男,汉族,江苏太仓人,南京工学院数学学士,副教授,研究方向：高职类数学教学.
汇总:此文是一篇关于对不知道怎么写微积分学和函数论文范文课题研究的大学硕士、微积分本科毕业论文微积分论文开题报告范文和文献综述及职称论文的作为参考文献资料.
微积分引用文献:
[1] 微积分论文范文 微积分类有关电大毕业论文范文2万字
[2] 微积分和课程学术论文怎么写 微积分和课程方面自考开题报告范文3000字
[3] 微积分和互联网论文范文素材 微积分和互联网类大学毕业论文范文2000字
