《从一道2018年的中考数学压轴题谈起》
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摘 要：压轴题一般是指试卷最后面出现的大题,它以难度大,分数高,综合性强为特点,学生要想在中考数学中脱颖而出,就必须将压轴题拿下.笔者认为初中生平时除了积累数学知识外,还应该认真分析以往中考生答错压轴题的原因,为今后的中考数学探路.
关键词：中考数学；压轴题；分析原因；探路
前段时间,本省各市进行了2018年的中考,因笔者素来就对中考数学压轴题颇感兴趣,便向多方询问了解了许多数学压轴题以及考生的解答情况,其中某市的一道数学压轴题令笔者印象深刻,原因是该压轴题的难度系数不算大,但学生的答题情况却比预期要差许多,笔者想通过此题来认清学生的思维世界,分析学生做错的原因,希望能对学生今后的答题起到切实的指导作用,为初中生今后的中考数学探出一条光明大道.
一、 题目呈现
题目：如图,在平面直角坐标系中,抛物线y等于ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧）,且OA等于3,OB等于1,与y轴交于C（0,3）,抛物线的顶点坐标为（-1,4）.
（1） 求A、B两点的坐标；
（2） 求抛物线的解析式；
（3） 过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合）,PA、PB与直线DE分别交于点F、G,当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值；若不是,请说明理由.
二、 分析答情
下面是学生的解答情况：
第（1）问求A、B两点的坐标,学生甲和学生乙给出了不同的答案.
学生甲：∵抛物线y等于ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧）,且OA等于3,OB等于1,∴A点坐标为（-3,0）,B点的坐标为（1,0）.
学生乙：A（1,0）,B（-3,0）.
点评：第（1）问真的算得上是送分题,很多学生的解题过程跟学生甲是一样的,因为什么条件得出了什么结论,这样的用法很恰当,思路也非常清晰.令人费解的是到了中考居然还有乙给出的这种答案,原因是学生乙审题过于粗心,没注意题目里已经明确给出条件“A在B的左侧”.每次讲评作业或试卷时,总能听到学生大呼看错题了,错就是错,数学不接受“我本可以”的解释,所以笔者认为细心也是解题能力的一种,学生们应该认真对待每一道题,从“我本可以”转化到“我做到了”的状态.
第（2）问求抛物线的解析式,学生丙和学生丁给出了不同的思路.
学生丙：将（1,0）,（-3,0）,（0,3）代入解析式y等于ax2+bx+c,得：
0等于a+b+c,0等于9a-3b+c,3等于0+0+c, 解得
a等于-1,b等于-2,c等于3,
∴抛物线的解析式为y等于-x2-2x+3.
学生丁：设抛物线的解析式为y等于a（x+3）（x-1）,把点C（0,3）代入该解析式得到3等于a×3×（-1）,解得a等于1,则抛物线的解析式为y等于-（x+3）（x-1）等于-x2-2x+3.
点评：学生丙的解题一般是考生看到题目后最先想到的方法,直接将抛物线上的三点坐标代入抛物线的解析式,再解三元一次方程组即可.如果学生的运算能力不強,对方程组的解法不熟悉,也不够细心的话就会容易出现错误.如果能像学生丁那样采用设交点式的解析式的方法,这样就减少了计算量,成功率会高许多.这就要求学生在看完题目后耐心思考解题的多种策略,然后认真地选取符合自己能力的解题策略,进而提高做题的成功率.
第（3）问是当点P运动时,EF+EG是否为定值?若是,试求出该定值；若不是,请说明理由.学生戊和学生己解题的突破口不同.
学生戊：EF+EG是定值,且EF+EG等于8,理由如下：如图,过点P作PQ∥y轴,交x轴于点Q,设P（t,-t2-2t+3）则PQ等于-t2-2t+3,AQ等于3+t,QB等于1-t,AE等于2,∵PQ∥EF,∴△AEF∽△AQP,
则EFPQ等于AEAQ,∴EF等于PQ·AEAQ等于（-t2-2t+3）×23+t等于23+t×（3+t）（1-t）等于2（1-t）,同理,
∵PQ∥EG,∴△BEG∽△BQP,∴有EGQP等于BEBQ,
∴EG等于PQ·BEBQ等于（-t2-2t+3）×21-t等于21-t×（-t2-2t+3）等于2（t+3）,∴EF+EG等于2（1-t）+2（t+3）等于8.
学生己：EF+EG是定值,且EF+EG等于8,理由如下：已知点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合）,当点P与点C重合时,有P（0,3）,设直线AP的解析式为y等于kx+b,将A（-3,0）,P（0,3）代入解析式得：
0等于-3k+b,3等于0×k+b,解得k等于1,b等于3,∴直线AP的解析式为y等于x+3.
∵直线AP与直线DE交于点F,则点F的横坐标为-1,则有y等于-1+3等于2,F（-1,2）,∴EF等于2.
设直线BP的解析式为y等于kx+b,将B（1,0）,P（0,3）代入解析式得：0等于1×k+b,3等于0×k+b,解得k等于-3,b等于3∴直线BP的解析式为y等于-3x+3.
∵直线BP与直线DE交于点G,则点G的横坐标为-1,则有y等于-3×（-1）+3等于6,G（-1,6）,∴EG等于6.
∴EF+EG等于2+6等于8,则当点P是抛物线上除点C外的B、D两点间的一个动点时,也会有EF+EG等于2+6等于8.
点评：学生戊的思路极其清晰,在找不到其他解题方法的情况下画了一条关键的辅助线PQ,以至于能顺利地找到了两组相似三角形,再利用相似三角形的对应线段成比例的关系算出了EF和EG的值,最后得到EF+EG等于2（1-t）+2（t+3）等于8.每一步骤都能以数学知识为依据,层层递进,加上自身运算能力强,最后得到正确答案也是意料之中的事.而学生己一开始想以特殊点为突破口——当点P与点C重合时,顺利算出F（-1,2）,G（-1,6）得到EF等于2,EG等于6,EF+EG等于2+6等于8,最后的解释“则当点P是抛物线上除点C外的B、D两点间的一个动点时,也会有EF+EG等于2+6等于8.”在这里,学生己太想当然了,在没有任何数学知识为依据的前提下,将特殊情况错误地过渡到一般情况,这点在数学领域是说不通的.如果学生写到这里后认真地寻找数学依据,经分析后一定会发现思路出现了严重的漏洞,此时再寻求另一种解题思路也还来得及.所以解题时要有耐心和细心,这两样缺一不可.
三、 深入反思
数学知识有着严密的联系性和严谨的科学性.严密的联系性指的是数学知识是结成网状的知识体系,知识之间相互支撑,相互依托,没有哪些数学知识能独立出来,因为它们是不可分割的.严谨的科学性说明数学知识有极强的逻辑性,它是根据现实社会的需要,并以原来的数学知识为依据而科学地增加.数学压轴题更是很好地印证了这两点.当学生做题时,如果不能找到相关的数学知识为依据,说明学生此时的解题思路很可能存在漏洞,因为正确的解题思路应该是让人感到豁然开朗的,而不是含含糊糊、模糊不清的.当然,在做题时,学生除了要有清晰且严谨的解题思路之外,还需要具备足够的耐心、细心和经验,而这些都需要学生在平时的数学学习中慢慢地去尝试和积累,那么积极分析往年中考数学压轴题的答题情况并总结出原因,这毋庸置疑是一种有效的途径.
作者简介：
叶梦玲,广西壮族自治区南宁市,广西师范学院数学与统计科学学院.
本文结束语:上述文章是适合中考数学和2018和2018年论文写作的大学硕士及关于中考数学本科毕业论文，相关中考数学开题报告范文和学术职称论文参考文献.
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