《弹性力学教学中几个难点问题》
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摘要：“弹性力学”课程是工科专业一门重要的专业基础课,课程较为抽象,公式推导较多,学生普遍感觉难学.结合多年课程教学的经验,探讨了“弹性力学”课程中力矩、内力和方向余弦等量的正负号规定,明确说明了极坐标下各坐标轴的正负号规定,这是对教材的有效补充;将相容方程分为应变、应力和应力函数表达式三类并进行了归纳,更便于学生理解;编制了弹性力学平面问题的可视化求解软件,实现对圆筒受均布力、压力隧洞、小孔口问题等十个典型问题的可视化求解,教学效果良好.
关键词：弹性力学;可视化;正负符号;相容方程
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1002-4107（2019）01-0013-03
一、前言
“弹性力学”课程是工科专业一门重要的专业基础课,是学习塑性力学、土力学的基础,也是工科学生摆脱材料力学杆式构件分析结果的束缚,向板、面和空间体分析拓宽的重要课程.该课程主要是通过考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,在边界上严格考虑受力条件和约束条件,建立微分方程和边界条件来解决力学问题.课程对高等数学中的微积分、偏微分方程求解和级数,以及解析几何、线性代数等知识的依赖性较高,且较为抽象,公式推导较多,学生学习普遍感觉较难.因此,开展“弹性力学”课程教学方法的研讨十分重要.
祝方才总结了弹性力学教学中的疑点[1],论述了符号规定、差分公式和极坐标的推导三个方面的认识,提出了比教材更为清晰的推导过程.潘东辉采用MATLAB软件提供的PDE工具箱对弹性力学中小孔口问题、圆环受内外压力作用等多个命题进行了计算分析[2],指出该工具箱的椭圆型偏微分方程的解实质是求解弹性力学平面问题的数值解法,可以方便求解弹性力学的平面问题,并且可以实现结果的可视化,是进行弹性力学教学的有力辅助手段.张伟伟提出了在教学实施中遵循先工程[3],后数理,再力学的讲解顺序的三段式教学方法,便于学生理解和掌握.这些论述对提升弹性力学课程的教学效果有较大的促进作用.
本文针对徐芝伦编著的弹性力学经典教程——《弹性力学简明教程》,结合多年工科专业“弹性力学”课程的教学实际,对课程教学中学生难掌握的几个难点问题进行论述和推导,力求加深教师和学生对这些问题的理解.
二、符号规定
弹性力学求解中均是在一定的坐标体系下进行,对各个变量的符号有较为严格的规定,求解应该在这个符号体系下进行,否则将得到不正确的结果.教材中对于应力、应变和位移,以及面力和体力符号均有明确的规定,但是对于力、力矩、剪力和极坐标下的部分符号的规定不明确,不利于学生的理解和掌握,需要进一步厘清.
(一)力矩M的符号规定
教材中讲授平面问题时对于力矩的正负号规定没有明确指出,而只是在讲述薄板弯曲时才明确提到,但是在平面问题中,特别是列出圣维南原理的积分方程中需要明确力矩的正负号.
力矩的正负号应该分为应力引起的力矩和外力引起的力矩两类,两者之间是有区别的.
對于面力引起的力矩,也应该先将力矩根据其作用方向概化为分布的面力（一般直接概化为直线分布最为简单）,然后依据“面力符号与力臂符号相同时力矩为正;反之为负”的原则进行正负号的判断,见图1（a）.
对于应力引起的力矩的正负规定应该是：“应力符号与力臂符号相同时力矩为正;反之为负”.确定应力引起的力矩正负时,先应该将应力概化为沿正负两侧力臂的分布应力（一般直接概化为直线分布最为简单）,利用以上原则确定力矩的正负号,见图1（b）.
图1看出,力矩M的方向一致,但是应力引起的力矩的符号为负,而面力引起的力矩为正,两者符号不同,这是在负面上的情况.在正面上两者的符号相同,主要原因是应力和面力符号规定不同造成的,在列出圣维南原理的积分方程是应该注意区分应力和面力引起的力矩的符号区别.
(二)面力和体力的合力及内力的符号规定
应力是单位面积上分布的内力,内力是一种力,等于应力乘以面积.在进行平衡方程推导时,要建立某一个方向上的平衡,也就是通过该方向上合力为0这一条件建立平衡方程时,需要确定内力的正负号.
内力是一种力,是合力,其符号规定应该是“与坐标轴指向相同的为正,反之为负”.内力的方向与应力的方向一致,但是其符号规定与应力“正面正方向和负面负方向为正,反之为负”的规定不同,在正面上两者相同,而负面上两者相反.
其他面力合力和体力合力的正负号规定也是“与坐标轴指向相同的为正,反之为负”.理解这些概念对平衡方程的推导有较大的帮助.
(三)方向余弦的符号规定
方向余弦是求解斜截面应力所必需的参数,其意义在于边界面的外法线方向的正方向与坐标轴正方向之间夹角的余弦值.在教学中发现,很多学生对其正负号如何确定不理解,影响对计算推导掌握.实际上,方向余弦的正负是按照余弦函数计算得到的,要理解其正负规定,应该从夹角的意义理解,特别应该知道两个“正方向”之间的夹角的余弦这句定义.另外根据余弦函数的值的特性可知,不同象限的方向余弦正负不同,第一象限中不论x和y方向的方向余弦l和m均为正值;第二象限x方向的方向余弦为负值,y方向为正值;第三象限x方向的方向余弦为负值,y方向为负值;第四象限x方向的方向余弦为正值,y方向为负值.实际判断时应该按照外法线方向所在的象限来判断方向余弦的正负号.
(四)极坐标情况下的符号规定
极坐标与直角坐标是弹性力学求解的两种坐标体系,但是在教学中发现学生对两种坐标体系之间的联系理解不深,应该在讲授中加以说明.实质上,极坐标与直角坐标之间是紧密相关的,极坐标的方向离不开直角坐标;两者之间的量是可以相互转化的,也有密切的关系.极坐标中径向ρ的正向就是从原点向外射线的方向,而环向φ的正向决定于相应的直角坐标的x和y轴的方向,即以x轴转向y轴的方向为正,不能按照逆时针或者顺时针为正来确定,同时φ的大小是径向射线正向与x轴之间的夹角.
上文点评，上文是关于对写作弹性力学和弹性力学教学和难点问题论文范文与课题研究的大学硕士、教学本科毕业论文教学论文开题报告范文和相关文献综述及职称论文参考文献资料有帮助.
教学引用文献:
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