《基于卡尔曼滤波算法的上证50指数预测》
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摘 要： 本文基于ARMA模型构建卡尔曼滤波算法的线性状态空间模型,然后利用ARMA模型的卡尔曼滤波算法来预测上证50指数,并且将预测结果与基于ARMA模型的预测结果进行了比较,结果表明,结合了ARMA模型的卡尔曼滤波算法的预测准确度为52.1%,明显优于单纯的ARMA模型.
关键词： ARMA模型 卡尔曼滤波算法 预测
一、引言
金融时间序列分析一直是学术界的研究热点,同时各类数学模型及机器算法也在不断地发展和优化,ARMA模型及卡尔曼滤波算法都是非常有效的金融时间序列分析方法,本文将二者相结合使用以提高指数预测的准确度,具有一定的学术意义及现实可操作性.
在国外,卡尔曼（Kalman）和布塞（Bucy）在1960年发表了一篇名为《线性滤波和预测理论的新成果》的论文,提出了一种新的线性滤波和预测理论,被称之为卡尔曼滤波.在国内,彭继兵和唐春艳（2005）基于变维分形理论的卡尔曼滤波算法对股票进行了预测,结果发现基于变维分形理论的卡尔曼滤波动算法对股价的预测是有效的.刘向阳（2019）对几种典型非线性滤波算法及其性能进行了分析,文章通过仿真实验对四类滤波器性能进行了对比分析,研究结果表明,EKF 计算量小,PF 精度高,UKF和CKF具有较高的精度和较强的实时性.
二、卡尔曼滤波算法
(一)算法概念
卡尔曼滤波算法是一个最优化自回归数据处理算法,该算法由状态方程和观测方程组成的线性随机系统的状态空间模型来描述.该算法利用状态方程的传递性,按线性无偏最小均方误差估计准则,利用新观测数据,对系统状态变量作最佳估计.具体来讲,状态方程负责向前推算当前状态变量和误差协方差的估计值,为下一个时间状态构造先验估计.测量方程负责反馈,即将先验估计和测量变量结合以构造后验估计.卡尔曼滤波算法的这些特性非常适合用于金融时间序列短期预测,下面即为卡尔曼滤波算法进行金融时间序列短期预测对应的运行流程,如下：
系统状态：X（k）等于AX（k-1）+BU（K）+W（K）（1）
系统预测值：Z（k）等于HX（k）+V（k）（2）
上面公式1、2即为卡尔曼滤波算法的线性状态空间模型,其中X（k）是k时刻的系统状态,U（K）是k时刻对系统的控制量,它可以为0.A和B是参数,对于多模型系统,它们是矩阵.Z（k）是k时刻的测量值.H是测量系统的参数,对于多测量系统,H为矩阵.W（k）和V（k）分别是系统状态和测量值的噪声.
假设现在的系统时刻是k,过程模型利用上一时刻的系统状态预测现在的系统状态：
X（k|k-1）等于AX（K-1|K-1）+BU（k）（3）
在上式中,X（k|k-1）是k时刻的系统状态预测结果,X（K-1|K-1）是（k-1）时刻系统状态的最佳估计值.系统状态已经更新,接下来更新X（k|k-1）对应的协方差,我们用P表示协方差,如下：
P（k|k-1）等于AP（k-1|k-1）AT+Q（4）
在上式中,P（k|k-1）是X（k|k-1）对应的协方差,P（k-1|k-1）是X（k-1|k-1）对应的协方差,AT为A的转置矩阵,Q是系统过程的协方差.
现在我们利用系统状态的预测值及观测值估计系统状态的最优值X（k|k）,如下：
X（k|k）等于X（k|k-1）+Kg（k）[Z（k）-HX（k|K-1）]
（5）
在上式中,Kg（k）为卡尔曼增益：Kg（k）等于P（k|k-1）HT/[HP（K|K-1）HT+R]（6）
现在我们已经得到了k时刻系统状态的最有估计值X（k|k）,但是为了让系统继续运行下去,我们还需要更新k时刻系统状态X（k|k）对应的协方差,如下：
P（k|k）等于[1-Kg（k）H]P（k|k-1）（7）
以上便是进行短期预测的卡尔曼滤波算法的自回归运算过程.
(二)算法应用
卡尔曼滤波算法是目前应用最为广泛的滤波方法,在导航、控制及金融数据分析等领域都取得了较好的应用效果.卡尔曼滤波算法对系统状态的估计可以是对当前系统状态的估计（滤波）,也可以是对于将来系统状态的估计（预测）,也可以是对过去系统状态的估计（插值或平滑）.卡尔曼滤波算法对金融时间序列短期预测属于对未来系统状态的估计,通常通过MATLAB、Python及R语言来实现.以MATLAB为例,在利用卡尔曼滤波算法进行高频交易的时候,投资者将高频信息输入卡尔曼滤波函数,就可以预测短期指数.
三、ARMA模型
(一)模型概念
自回归移动平均模型（ARMA模型）由因变量对它的滞后值以及随机误差项的现值和滞后值回归得到,该模型具体可分为移动平均（MA）模型、自回归（AR）模型及自回归移动平均模型.
1.MA（q）过程的表示形式：
（8）
在上式中,c为常数项,{}为白噪音过程.对于任意的t,MA（q）都是平稳的.
2.AR（p）过程的表示形式：
（9）
在上式中,c为常数项,{}为白噪音过程.当特征方程的根全部落在单位圆之外时AR（p）过程是平稳的.
3.ARMA过程的表现形式：
（10）
在上式中,{}为白噪音过程.ARMA过程的稳定性取决于它的自回归过程.
引入滯后算子L,上式可以写成：（11）
其中,;.
(二)模型应用
1.ARMA模型的识别.利用自相关函数（ACF）及偏自相关系数（PACF）识别ARMA模型,具体步骤为：第一步,通过ADF检验判断时间序列的平稳性;第二步,利用ACF、PACF及它们的图形来确定ARMA（p,q）模型的参数p、q.
本文总结：上文是一篇关于对写作卡尔曼滤波算法和预测论文范文与课题研究的大学硕士、卡尔曼滤波本科毕业论文卡尔曼滤波论文开题报告范文和相关文献综述及职称论文参考文献资料有帮助.
卡尔曼滤波引用文献:
[1] 卡尔曼滤波论文范文 卡尔曼滤波类有关论文范文资料8000字
[2] 卡尔曼滤波论文范文 卡尔曼滤波类硕士学位论文范文3000字
[3] 卡尔曼滤波和自论文写作参考范文 卡尔曼滤波和自有关论文怎么写2000字
