《从直观经验走向数学推理》
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[摘 要]“和差问题”是小学数学中的一个经典问题,传统教学重点是告诉学生“大数等于（和+差）÷2,小数等于（和-差）÷2”,缺少过程性的探究.在“和差问题”的教学中,教师基于学生从直观地凑数到一一列举再到数学推理建构新方法,让学生经历观察、分析、验证、应用的过程,可有效帮助学生积累学习活动经验,提升学生的数学推理能力,发展学生的数学核心素养.
[关键词]和差问题;直观经验;数学推理
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）14-0052-03
人教版教材六年级下册在“数学思考”这个单元的练习中安排了这样一道题目：
〇、口、△各代表一个数,根据下面的已知条件,求〇、口、△的值.
（1）〇+口等于91 （2）口-〇等于8
△+口等于63 口+〇等于12
△+〇等于46 △等于口+口+〇
对于第（1）小题,常规的解答方法是把三个等式“等于”左边的图形加起来,“等于”右边的得数加起来,从而知道〇+口+△的和是多少,然后再求每个图形的值.还有一种方法是把前两个等式“等于”左边的图形相减,“等于”右边的得数相减,得到第四个等式“〇一△等于28”,然后把第三和第四个等式“等于”左边的图形加起来,“等于”右边的得数加起来,从而得到〇+〇的和是多少,最后再求每个图形的值.
对于第（2）小题,常规的解答方法是把前两个等式“等于”左边的图形加起来,“等于”右边的得数加起来,从而得到口+口的和是多少,然后再求每个图形的值.当然还有一些学生是用“凑数”的方法,先思考满足“口-〇等于8”的可能答案,然后再思考满足“口+〇等于12”的可能答案,两个都满足要求,就得到正确的答案了.
在教学中,笔者发现学生一般喜欢用“凑数”的方“必然”的过程,让学生相信这不是一种“凑巧”,而是一种必然的经验.】
出示问题：一个笔袋和一本练习本一共12元,一个笔袋比一本练习本贵6元,一个笔袋（）元,一本练习本（）元.
交流：你是用什么方法解决这道题的?
（1）快速列举法：9+3等于12,9-3等于6.
（2）一一列举法：如11+1,减法不对;10+2,减法不对,9+3,减法对.
（3）笔袋+笔袋：12+6等于18（元）,所以一个笔袋是9元;练习本+练习本等于12-6等于6（元）,所以一本练习本是3元.
师：你可以用自己喜欢的方法解题,但更要考虑如何既正确而又快速地求得答案.
师：那像这样的加减法算式,都有这样的秘密吗?可以举一些例子再验证一下.
（学生尝试举例证明,反馈交流）
小结并板书：大数等于（和+差）÷2,小数等于（和-差）÷2.
【反思：解题方法千万条,正确快速很关键.学生基于列举法学会用“和+差”和“和一差”来计算,这是一种新方法的尝试,更是一种新经验的应用.用自己喜欢的数据来进行验证这种方法的普适性,既是一种过程性的尝试,更是一种对结论的不完全归纳,体现了求真务实的科学精神.】
(四)课堂总结,拓展思维
师：今天我们通过仔细观察、积极思考,并采用多种方法找到加减法里面的秘密.数学学习就是这样,有了问题,我们就解决问题,在解决问题的过程中,又产生新的问题,只有在问题中不断寻找结果,我们的数学学习才会越来越棒.现在,你看着这张图片,你心里有新的问题了吗?
生：乘除法里的问题;减乘相关的问题;加除相关的问题等
【反思：带着问题进入课堂,最后带着问题走出课堂,这不仅是一种数学意识,更是一种学习习惯.學生只有自主思考、合作探究,才能形成数学学习的兴趣,提高解决问题的能力.】
【教学反思】
1.鼓励学生学会提问.提出问题的意识贯穿本节课的始终,可让学生养成“想一想”“问一问”“试一试”“验一验”的好习惯.学生提出的问题或许没有教师想象中的那么理想,但是,提着提着,就“提”到核心要素上去了.特别是求两种物品的单价,学生不仅直接问到点子上,而且还能用“猜测”“一一列举”等方法去解决问题.这样的学习习惯必然能促进学生能力的提高.
2.师生合作寻找规律.要得到“大数等于（和+差）÷2,小数等于（和-差）÷2”这个抽象的规律,必须要经历一定的探究.学生思考的重点往往是如何得到两个不同物品的单价,而至于是用什么方法求得的,没有进行思考.要使学生能通过观察、讨论、归纳、应用“大数等于（和+差）÷2,小数等于（和-差）÷2”这个规律,就需要师生合作,如数形结合“验一验”、开放式举例“验一验”等.
3.不断优化解题方法.在第一次尝试解决“口+△等于10”的问题时,鼓励学生打破固定的“一个答案”,让学生积极参与解决问题,这样才会出现“9+1,8+2,7+3,6+4,5+5,4+6,3+7,2+8,1+9”这9种情况.学生一是结合自己的生活经验,认为这两样物品的单价可能是多少,还有就是认为两种物品的单价是固定的,所以只能有一种答案.教师再出示“口-△等于2”这一条件,这时学生会尝试用减法进行一一验证,而且理所当然地提出：第一件物品是大数,第二件物品是小数,所以“5+5,4+6,3+7,2+8,1+9”都是不对的.学生对一一列举的方法是情有独钟的,甚至有些数感好的学生,一下子就想到了答案,这对建立“大数等于（和+差）÷2,小数等于（和-差）÷2”这个规律,是一个挑战.而且解答组合的两个等式,学生以前也是没有经历过的.为此,教师用遮挡两个小数或两个大数的方式,引导学生去观察、分析,然后再用圆片图验证,最后让学生用自己想的数进行验证,通过不断强化得出的新方法.不管是“一一列举”,还是“大数等于（和+差）÷2,小数等于（和-差）÷2”,在这节课中说不上哪种方法谁更好,但教师要有一种意识,即得到一种新方法的过程,就是一个学习研究的过程,对于学生探究新知识是一种经验积累.可以预见,对于解决数据比较大的“和差问题”时,用“大数等于（和+差）÷2,小数等于（和-差）÷2”还是比较好的.
（责编：黄春香）
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