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(内蒙古科技大学数理与生物工程学院 内蒙古包头 014010)
摘 要：微分中值定理有很广泛的用途,本文全方位叙述了微分中值定理及其应用,总结了证明技巧,并举例说明了证明方法的有效性．
关键词：连续函数 微分中值定理 介值定理
中图分类号：O172.1 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2014)01(b)-0196-02
Several Proofs About Differential Mean Value Theorem
Zhao Xin Yang Jinling Tang jun
(Inner Mongolia University of Science &, Technology College of Science and Biological-engineering,Baotou Inner Mongolia,014010,China)
Abstract：There was a very wide range of uses about Differential Mean Value Theorem,this paper described the differential value theorem comprehensive and its applications, summarized the proof techniques,and illustrated the effectiveness of the method of proof.
Key Words：Continuous Function；Differential Mean Theorem；Intermediate Value Theorem
微分中值定理是构成微分学基础理论的重要内容,是微分学中的基本定理,是研究函数性质的有力工具.它不仅沟通了函数与其导数的关系,而且也是微分学理论应用的桥梁与基石.本文首先叙述了闭区间上连续函数的性质,然后讨论了微分中值定理,着重归纳总结了证明方法及其技巧,并举例说明了应用.
1. 性质及其证明技巧
1.1 闭区间上连续函数的性质
(1)基本定理包括：
定理1：设函数在上连续,则在上有界,即存在常数对任意的恒有.
定理2：(最值定理)设函数在上连续,则在上,至少取得最大值与最小值各一次,即,使得：
.
定理3：(介值定理)设函数在上连续,是介于和(或最大值和最小值)之间的任意实数,则在上至少存在一个,使得：
.
定理4：(零点存在定理)设函数在上连续,且＜≠则在内至少存在一个,使得.
(2)有关闭区间上连续函数的命题的证明方法如下.
①直接法：其程序是先利用最值定理,再利用介值定理.
②间接法(辅助函数法)：其程序是先作辅助函数,验证满足零点存在定理条件,然后由零点存在定理得出命题的证明.辅助函数的做法可以为：把结论中的,(或者)改写成移项,使得等式的右边为0,令左边的式子为,此即为所求的辅助函数.
1.2 微分中值定理
(1)基本定理包括：
定理1：(费马定理)函数在的某个领域内有定义,并且在此领域内恒有：≤或≤,在处可导,则有：
.
定理2：(洛尔定理)设函数在上连续,在上可导则在内至少一个,使得
定理3：(拉格朗日定理)设函数在上连续,在上可导,则在内至少一个,使得
定理4：(柯西中值定理)设函数在上连续,且均存在,则在内至少存在一个,使得.
(2)有关中值定理的命题的证明方法如下.
命题证明结论为至少存在一点,使得的命题一般有三种思路.
①验证在上满足洛尔定理的条件,由该命题即可得命题的证明.
②验证为的最值或极值点,用费马定理即可得命题的证明.
③个别命题也用泰勒命题证明.
(3)命题证明结论为至少一点,使得及其代数式的命题的证明一般思路如下.
首先作辅助函数,验证满足洛尔定理得条件,由定理的结论即得命题的证明.其中辅助函数的构造是关键,辅助函数的构造方法如下.
1.）原函数方法,辅助函数的构造步骤如下.
①把结论中的,(或者)改写成x.
②通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式(或是易积分的形式).
隐函数存在定理:40二次函数的韦达定理根与系数的关系
③用观察法或积分法求出原函数,为简便积分常数取作0.
④移项使等式一边为0,则另一边即为所求的辅助函数.
2.)常数值法,此法适用于常数已经分离出来的变量.辅助函数的构造步骤如下.
①将常数部分令作.
②恒等变形,使等式一端为及构造的代数式,另一端为及构造的代数式.
③分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式,若是,只要把端点改成,相应的改成是,则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数.
3)命题证明结论为至少,满足某种关系式的命题的证明一般思路为：或者使用两次拉格朗日定理,或者两次柯西中值定理,或者一次拉格朗日定理一次柯西中值定理,然后再将它们作某种运算.
2. 举例
设在区间上连续,在内有二阶导数,试证：存在,使：
证明：由已知得：
参考文献
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总结：本论文主要论述了定理函数论文范文相关的参考文献,对您的论文写作有参考作用。
隐函数存在定理引用文献:
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